Preveo i priredio: Slavko Šćepanović
Proizašao je ovakav dijalog:
Venediktov: Recite, da li se paralelne prave sijeku?
Slušalac: Ne.
Venediktov: A eto, kod Lobačevskog se sijeku, tamo je drugi sistem odbrojavanja.
Kao što je poznato, svako ima svoje mišljenje, a istina je samo jedna, i ona se sastoji u tome što se paralelne prave ne sijeku, čak ni kod Lobačevskg.
Priroda mitološke predstave o otkriću Lobačevskog je jasna. Svi znaju da se u njegovoj geometiji događa nešto neobično sa paralelnim pravima. A što može biti neobičnije od toga da se one sijeku! Poražava, ipak, stepen rasprostranjenosti te predstave. Uostalom, apologet matematike ima pravo na osjećaj zakonskog zadovoljstva. U masovnoj svijesti su prisutne nekakve matematičke predstave, makar bile i lažne!
U interesu istine, a ne u interesu mišljenja, saopštićemo što se događa u geometriji Lobačevskog. Razlika između geometrije Lobačevskog i uobičajene geometrije, iz škole poznate kao Euklidove, je u sledećem. U Euklidovoj geometriji kroz tačku prolazi samo jedna prava, koja je ranije prikazana kao prava, a u geometriji Lobačevskog je mnogo takvih pravih. U već formulisanoj aksiomi riječ „nemoguće” treba zamijeniti riječju „moguće”, i aksioma u verziji Euklida će se pretvoriti u aksiomu o paralelnima u verziji Lobačevskog. Kroz tačku, koja ne leži na zadatoj pravoj, može se povući više od jedne prave, paralelne toj zadatoj pravoj.
Posebna pozicija aksiome o paralelnim pravima izazvana je time što ona nije toliko očigledna koliko druge aksiome u geometriji. Uzmimo, na primjer, aksiomu o tome da kroz bilo koje dvije različite tačke prolazi jedna, i samo jedna prava. Nju možemo provjeriti eksperimentalno. Treba odabrati ravnu površinu, pobiti dva kolčića, potom čvrsto zategnuti među njima konac, i eto nam očigledna potvrda prisustva prave koja prolazi kroz dvije tačke. Ako mi uzmemo drugi zategnuti konac, koji povezuje dva ista kolčića, onda će se oba konca spojiti u jednu liniju. Zamislimo sada da smo proveli paralelnu, i osim toga, kroz tu istu tačku, neku drugu pravu, pod veoma malim uglom prema toj paralelnoj. Po Euklidovoj aksiomi ta druga prava obavezno presijeca prethodnu pravu sa kojom je bila provedena naša paralelna. I gdje je sada ta tačka presijecanja? Pa ona može da se pojavi ne samo van odabrane parcele, dostupne našem pogledu, nego i astronomski daleko van naše Galaktike. I može da se učini da nema drugog načina da se uvjerimo u to da takva tačka postoji. I kako onda jednostavno povjerovati u Euklidovu aksiomu o paralelnima pravima. Ali takav način potvrđivanja činjenice da se aksioma o paralelnima ostvaruje u realnom fizičkom prostoru, zasnovan na čistom vjerovanju, nije bio po volji matematičarima.
Zbog toga su se, u toku dugog vremena, preduzimali pokušaji da se dokaže tvrdnja sadržana u aksiomi o paralelnim pravima, polazeći od ostalih aksioma, i da bi, samim tim, ponizili značaj te tvrdnje, pretvarajući je iz aksiome u teoremu. Pa ipak, svi ti pokušaji su propali. Kao po pravilu, svaki takav dokaz je neprimjetno provlačio nekakvu geometrijsku tvrdnju, koja, reklo bi se, nije izazivala nikakvu sumnju, ali je, u stvari, imala istu snagu kao aksioma o paralelnim pravima. Na primjer, u „dokazu” poznatog franuskog matematičara XVIII i XIX vijeka Ležandra iskorišćeno je nešto poput naivnog predloga: kroz bilo koju tačku unutar ugla može se povući prava koja siječe obje strane ugla. Ispostavilo se da taj predlog ima istu snagu kao aksioma o paralelnim pravima. On, ne samo što se oslanja na tu aksiomu, nego se iz njega, sa svoje strane, može izvesti sama aksioma.
(Nastaviće se)