Preveo i priredio: Slavko Šćepanović
Suprotstavljanje računskih i neračunskih beskonačnih mnoštava vodi ka posledici koja se nalazi na spoju semiotike i gnoseologije. A upravo se ispostavlja da su to moguće suštine koje se ne mogu imenovati. Pokušaćemo da tu situaciju izložimo što je moguće jasnije. Kada mi nešto nazivamo, mi to nešto snabdijevamo imenom. Svako ime predstavlja konačni niz znakova odabranih iz datog sistema imena konačnog spiska znakova. A bilo koji konačni spisak znakova u matematici naziva se azbuka. Ona te znake predstavlja slovima, a svaki konačni lanac slova riječju u datoj azbuci. Nije se teško uvjeriti u to da, ako uzmemo bilo koju azbuku, mnoštvo svih riječi u njoj će biti računsko. Samim tim neće biti ništa više računski bilo koji sistem imena, stvoren na osnovu te azbuke. Taj sistem može biti ili računski, ili konačni. I, ako mi imamo posla sa beskonačnim mnoštvom objekata, u tom mnoštvu će se, svakako, sresti objekti, i to čak vrlo mnogo takvih objekata, za koje se u razmatranom sistemu nikako ne mogu naći nikakva imena. Bilo kakav sistem imena da izmislimo, uvijek će se ispostaviti da nema imena za neke djelove prirodnog niza, i za tačke na pravoj liniji.
Tek sada se navedena shvatanja mogu iskoristiti za dokazivanje računstva mnoštava algebarskih brojeva, i u skladu sa tim, za dokazivanje postojanja transcendentnih brojeva. Poznato je da su za svaku algebarsku jednačinu njihova mnoštva od stvarnih korijena, to jest takvih stvarnih brojeva koji služe kao korijeni tih jednačina, i uvijek su konačna. Rasporedimo to mnoštvo po redu nastajanja tako da svaki korijen dobije svoj broj u tom rasporedu. Reći ćemo da je ime datog algebarskog broja zapis koji se sasoji od zabilješke bilo koje algebarske jednačine, čiji korijen predstavlja dati broj, i rednog broja tog korijena među svim korijenima te jednačine. Zajednička količina svih, na taj način upisanih imena je računska. Iz ovoga se lako izvlače dva fakta. Prvo, ispostavlja se da je računska količina brojeva koji su dobili ime, u datom momentu i algebarski brojevi. Drugo, mnogi stvarni brojevi ne dobijaju svoje ime, i oni su, u stvari, transcendentni brojevi.
Pojavljuje se pirodno pitanje: postoje li periodični intervali među računskim i kontinuiranim moćima. Drugačije govoreći, pitanje se sasoji u tome koje je od ova dva alternativna tvrđenja ispravno:
Po količini elemenata kontinuum stvarnih brojeva dolazi odmah iza prirodnog niza, ili pak
U prikazanom kontinuumu može se izdvojiti intervalno mnoštvo, to jst takav beskonačni dio koji po snazi nije jednak, ni čitavom kontinumu, ni prirodnom nizu.
Hipoteza da je opravdana prva od ove dvije tvrdnje nazvana je hipoteza kontinuuma, ili kontinuum – hipoteza, a potreba da se ta hipoteza dokaže, ili opovrgne, zove se problem kontinuuma. Kantor je 1877. godine objavio da kontinuuum hipoteza predstavlja matematičku istinu i od 1879. godine je počeo u nastavcima objavljivati traktat koji je imao za cilj da tu istinu dokaže. Članak od šest nastavaka bio je završen 15. novembra 1883. godine. On je sadržao dokaz da je integralno mnoštvo, nesumnjivo, odsutno u određenoj vrsti mnoštava, i obećanje da će u sledećim člancima dokazati da takvo mnoštvo uopšte i ne postoji, to jest da će dokazati hipotezu o njenom punom obimu. Pa, ipak, obećani sledeći članci se nijesu pojavili. Kantor je shvatio da on ne može dokazati kontinuum hipotezu, i u maju 1884. godine dobio je prvi nastup nervne bolesti. Sredinom XX vijeka je bilo ustanovljeno da je kontinuum – hipotezu nemoguće ni dokazati, ni opovrgnuti. Ovdje ćemo se zaustaviti, plašeći se da ne doživimo Kantorovu sudbinu.
Govoreći jezikom lingvistike, ovo čime smo se ovdje bavili, je semantika količinskih brojilaca: jedan, dva, tri.., četrdeset osam.., dvije hiljade sedam... može biti dopunjen beskonačnim brojevima – alfa o.
Ali, postoje i redni brojevi: prvi, drugi, treći, i tako dalje. Kratko ćemo govoriti o njima. Postoji i usmeni izraz (ime) količinski broj. Da bismo razlikovali redne brojeve od količinskih, mi ćemo ih, u krajnjem slučaju, označavati rimskim ciframa, kao što je to uobičajeno u ruskoj orfografiji. Redni broj je sam po sebi suština za koju nećemo ovdje predložiti određenu, nego asocijativnu ilustraciju. Sa tim ciljem se ovdje obraćam svojim dječjim osjećajima. Kasnije sam, u studentskim danima sa čuđenjem saznao da takav osjećaj u djetinjstvu nijesam imao samo ja.
Tako je bilo u ranom djetinjstvu. Razmišljam: kako sam ja loš. A onda mi u glavu dolazi misao da ako sam ja shvatio da sam loš, to znači da sam ja dobar. Ali ako ja sebe smatram dobrim, to znači da sam loš. Kakvu sam zapaženu i beskrajnu skalu ja stvorio hvaleći i kudeći sebe. Loš sam što se hvalim da sam dobar. A dobar sam što shvatam da sam loš. I tako dalje. Ovo je ilustracija pojma rednog broja. U stvari, prirodno je stepenice stvorene skale nazivati riječima „prva”, „druga”, „treća”, i tako dalje.
(Nastaviće se)